KOSEN 한인과학기술자네트워크

* 이응신(ID:eisenbahn)회원님께서 KOSEN의 까페 광장에 올려주신 답변입니다. ---------------------------------------------------------------- 변분법은 미적분학 만큼 역사가 깁니다. 베르누이가 전유럽의 과학자들을 대상으로 중력장 아래서 비스듬한 두점을 연결하는 최단거리를 구하는 문제를 출제하였다고 합니다. 문제를 받아 든 독일의 라이프니츠는 몇 달 시간을 달라고 회신을 보냈고, 영국의 뉴턴은 오후에 문제를 받아서 변분법을 이용하여 다음날 아침에 정답을 보내면서 익명으로 하기를 요구하였답니다. 문제가 풀린것을 보고 대부분의 사람들은 뉴턴임을 직감했답니다. 오늘날 변분법은 발전이 거의 끝나 더 이상 사용하지 않는다고 보았으나 공학에서 FEM 등의 근사계산에서 다시 살아나서 구조역학 프로그램안에 거의 다 장착되어 있습니다. 변분법에 대한 내용은 George Arfken의 '수리물리학'책을 참고하십시오. 마지막 장 전체를 변분법으로 장식하였고, 물리적인 의미까지 잘 설명하고 있습니다. 물론 국내 번역판도 있습니다. 약간 어렵다고 생각하면, Boas가 쓴 '수리물리학'을 참고하십시오. 번역판도 있고 Arfken책보다는 약간 쉽습니다. 편미분을 다루는 곳에 있고 여기에는 라그랑쥐 미정계수에 대한 예도 있습니다. (물리적인 예), 또 이책에는 라그랑쥐 미정계수가 선형대수학에서 어떤 역할을 하는가도 조금 언급이 되어 있습니다. 변분법을 수학적으로 이해하려면 미적분학을 수학적으로 이해하는 것 만큼 어렵습니다. 첫째로, 범함수(functional)에 대하여 이해를 해야 하고, 정류값 중에서 '강한 최소'나 '약한 최소'를 이해해야 하고, L2 함수나 힐버트 함수공간에서 최소값을 이해해야 합니다. 또 라그랑쥐의 델타-프로세스를 이해해야 합니다. 더 나아가서 첫번째 변분이 물리적으로 어떤 양을 의미하고 두번째 변분이 기하학적으로 곡률과 어떻게 연관되어 있는가도 이해를 해야 하므로 미분기하를 공부해야 정확하게 이해할 수 있습니다. 라그랑쥐의 미정계수를 이해하려면 첫째로 일반화좌표와 에너지 불변이 일반화좌표와 어떻게 연관이 있는가를 알아야 하고, 제일 라그랑쥐 방정식과 제2 라그랑쥐 방정식에서 좌표변환을 통해 일반화좌표가 어떻게 제거되는가를 이해해야 합니다. 구속조건 중 홀로놈과 비홀로놈의 조건을 알아야 하고, 비홀로놈 조건에서 미분형태로 나와 일반화좌표를 없앨 수 없을 때 미분형 그대로 사용하면서 라그랑쥐 미정계수를 사용하는가를 알아야 합니다. 라그랑쥐 미정계수는 지금도 여전히 수학자들과 물리학자들이 다투고 있는 내용입니다. 특히 '미소변위'를 둘러싸고 물리학자들이 주장하는 내용과 수학자들이 주장하는 내용이 틀려 유명한 학자들이 쓴 해석역학의 내용을 두고 왈가왈부하고 있습니다. 미정계수를 제거하기 위하여 치환법이나 프로젝션법 등을 사용하는데 역시 해석역학을 전문으로 하는 사람이 아니면 시간 낭비 입니다. 따라서 라그랑쥐 미정계수를 이해하려면 수리물리학에서 나오는 예제로 익혀야 빠른 시간내에... >두 원리를 접해도 서로 비슷한 점은 쉽게 들어오는 것 같은데, 근본적으로 어떤 차이점이 있는지 모르겠습니다. 왜, 어떻게 둘을 구분하는 것입니까? 자세히 설명해 주시면 감사하겠습니다.

오해의 소지가 있는 부분에 대해서 comment합니다. >오늘날 변분법은 발전이 거의 끝나 더 이상 사용하지 않는다고 보았으나 공학에서 FEM 등의 근사계산에서 다시 살아나서 구조역학 프로그램안에 거의 다 장착되어 있습니다. FEM에만 쓰일 뿐 아니라, 새로운 기계를 설계하기 위해 simulation이 필요한 경우, 대부분 문제되는게 운동방정식을 세워야 프로그램을 만들게 되겠고 운동방정식 만들려면 Lagrangian세워서 운동방정식을 만들게 됩니다. 또 다른 경우는 소입자 물리학 이론에서 줄기차게 이용되는게 역시 라그랑지언되겠습니다. >변분법을 수학적으로 이해하려면 미적분학을 수학적으로 이해하는 것 만큼 어렵습니다. 첫째로, 범함수(functional)에 대하여 이해를 해야 하고, 정류값 중에서 '강한 최소'나 '약한 최소'를 이해해야 하고, L2 함수나 힐버트 함수공간에서 최소값을 이해해야 합니다. 또 라그랑쥐의 델타-프로세스를 이해해야 합니다. 더 >나아가서 첫번째 변분이 물리적으로 어떤 양을 의미하고 두번째 변분이 기하학적으로 곡률과 어떻게 연관되어 있는가도 이해를 해야 하므로 미분기하를 공부해야 정확하게 이해할 수 있습니다. 이게 크게 두분야인데 처음은 해석학을 말하고 특별히 functional analysis가 해당하고, 두번째는 미분기하학으로 다양체에 대한 이론입니다.