2004-03-15
org.kosen.entty.User@2578cdf6
권경일(@@@kweon)
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안녕하십니까? 여러분.
저는 최근에 아주 흥미있는 테마를 발견해서 몇달째 연구를 하고 있는데요, 이 문제를 풀어보니까 그 답을 적분방정식 형태로 구할 수 밖에 없었습니다. 저는 전공이 물리, 그중에서도 광학입니다. 따라서 제가 풀고 있는 문제도 광학문제인데, 그 문제의 형식은 거의 미분기하학의 문제가 아닌가 추측됩니다. 적분방정식이 굉장히 복잡해서 여기에 다 옮길 수는 없지만, 그 형식을 요약하면 다음과 같습니다.
t = t1에서 t2까지의 구간에 대하여 정의된 미지의 함수 x = x(t)가 있습니다. 이 함수에 대하여 F(f(x)) = g(x)를 만족하는 x = x(t)를 찾는 것이 문제입니다. 여기서 f(x)와 g(x)는 x에 대한 간단한 함수이고, F(f)는 f(x)를 x1 = x(t1)에서 x까지 부정적분하는 함수입니다. 이해가 되셨는지 모르겠군요.
저도 수치해석을 조금 하는데요, 여지까지 적분방정식으로 주어지는 문제는 풀어본적도, 본적도 없습니다. 이 문제를 푸는 몇가지 원시적인 알고리즘을 생각을 해 보았는데 확신이 서는 방법이 없습니다. 특히 오차의 누적과 관련하여. 혹시 이런 문제를 푸는 정석을 알고 계시는 분은 알려주시면 감사하겠습니다.
- integral equations
- numerical analysis
- differential geometry
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각 분야 한인연구자와 현업 전문가분들의 답변을 기다립니다.
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답변 5
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오동화님의 답변
2004-03-16- 0
>안녕하십니까? 여러분. >저는 최근에 아주 흥미있는 테마를 발견해서 몇달째 연구를 하고 있 는데요, 이 문제를 풀어보니까 그 답을 적분방정식 형태로 구할 수 밖에 없었습니다. 저는 전공이 물리, 그중에서도 광학입니다. 따라 서 제가 풀고 있는 문제도 광학문제인데, 그 문제의 형식은 거의 미 분기하학의 문제가 아닌가 추측됩니다. 적분방정식이 굉장히 복잡해 서 여기에 다 옮길 수는 없지만, 그 형식을 요약하면 다음과 같습니 다. >t = t1에서 t2까지의 구간에 대하여 정의된 미지의 함수 x = x(t) 가 있습니다. 이 함수에 대하여 F(f(x)) = g(x)를 만족하는 x = x (t)를 찾는 것이 문제입니다. 여기서 f(x)와 g(x)는 x에 대한 간단 한 함수이고, F(f)는 f(x)를 x1 = x(t1)에서 x까지 부정적분하는 함 수입니다. 이해가 되셨는지 모르겠군요. 형태로 봐서는 프레넬곡선과 관련이 있을듯 해 보입니다. :) >저도 수치해석을 조금 하는데요, 여지까지 적분방정식으로 주어지 는 문제는 풀어본적도, 본적도 없습니다. 이 문제를 푸는 몇가지 원 시적인 알고리즘을 생각을 해 보았는데 확신이 서는 방법이 없습니 다. 특히 오차의 누적과 관련하여. 혹시 이런 문제를 푸는 정석을 알고 계시는 분은 알려주시면 감사하겠습니다. 제가 아는 한도에서는 적분방정식의 수치해에 대한 일반적인 접근법 은 없는 걸로 압니다. 형태를 보지 않아서 잘 모르겠지만 적분방정식 이 나타났을때 대처방법(?)은 "가능한 미분방정식으로 고친다"입니 다. f(x)및 g(x)가 어떻게 생겼는지 모르지만 비선형 방정식일꺼라 는 생각됩니다. 만약 그렇다면 이놈들을 어떤 구간에서 선형화할 수 있는 가능성은 없는지 생각해보시고요. 선형이거나 선형화할 수 있다 면 적분방정식은 해 some complete set의 linear combination으로 볼때 계수들의 행렬방정식으로 만들 수 있을겝니다. (선형이 아니고 선형화한 경우라면 self-consistency loop이 필요할겝니다.) 만약 비 선형이라면, 처음에 적당한 trial solution을 가정하고 적분을 수치 적으로 풀고 오차함수 (이경우 F(f)-g)가 0이 당연히 아닐꺼구요. 오 차함수에 대한 미분값을 gradient라고 생각해서 처음 해를 보정하고 다시 오차함수를 계산하는 loop를 생각할 수 있을듯 합니다. 이경우 오차함수에대한 미분연산이 해석적으로 가능한경우에만 국한되겠습니 다. 만약 해석적으로 못구하다면 저는 give up입니다. :) 정보가 너무 적어서 무어라 말하기 힘들군요. -
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권경일님의 답변
2004-03-17- 0
안녕하십니까? 정확한 수식을 PDF파일로 탑재하였습니다. 한번 살펴보시고 고견을 들려주시면 감사하겠습니다. 혹시 수식에 대하여 질문이 있으시면 연락을 주십시요. 호남대 광전자공학과 권경일 (Tel) 019-411-8664 E-mail: kweon@honam.ac.kr -
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오동화님의 답변
2004-03-18- 0
>안녕하십니까? 정확한 수식을 PDF파일로 탑재하였습니다. >한번 살펴보시고 고견을 들려주시면 감사하겠습니다. >혹시 수식에 대하여 질문이 있으시면 연락을 주십시요. >호남대 광전자공학과 권경일 >(Tel) 019-411-8664 >E-mail: kweon@honam.ac.kr 잘 보았습니다. :) 제 생각으로는 미분 방정식으로 충분히 고칠수 있는것으로 보입니다. 일단 R_1 sin(\chi-\alpha)로 양변을 나누고 logarithm을 취하면 저번에 보여주셨던 꼴이 나옵니다. 그런다음 양변을 \theta에대해 미분하면 단순히 \alpha의 미분에 비례하는 항과 그렇지 않은 항으로 나눌 수 있습니다. 이때 주어지는 방정식은 비선형 일계 미방이 되겠습니다. 방정식이 비성형인 관계로 초기조건 (혹은 경계조건)에 매우 민감하게 답이 바뀔것이 예상됩니다. -
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윤정호님의 답변
2004-04-21- 0
지나가다가 몇자 적습니다. 원리적으로 오박사님 생각이 맞구요. 다만 수치적 해결법에 관해서만 몇자 적어볼께요. theta를 그냥 t라고 합시다. t가 t1 부터 t2 까지 변합니다. 이때 alpha 의 궤도 내지는 변하는 값을 구하는게 이 문제의 솔루션입니다. 아마도 해석적으로 가능할수 있을것도 같아요. 한데 문제는 exponential 속의 적분텀이 해석적으로 구해질 때 가능할테지만요.. 최종식을 간단히 표현하면: f(t) - g(t) * Exp(h(t)) = 0 여기서, f(t) = r(t).sin(x(t)-t) g(t) = R(alpha(t1)).Sin(x(t)-alpha(t)) h(t) = 적분식.. 현재 r(t), x(t), R 은 정확하게 알려져 있지 않습니다. - 사실 수치적으로 해결시 이건 그렇게 중요하지는 않아 보입니다. 수치적으로 두가지 기법이 요구됩니다. (1) 수치적분 - Romberg method 추천합니다. (2) 근구하기 - Simplex 또는 Newton method.. Simplex 추천합니다. 두가지 테크닉을 자유자재로 이용하는것이 가능하다고 가정할때.. 아래와 같은 알고리듬에 의해 해가 구해질걸로 생각합니다. For t = t1, t2, deltat //예쁘게 연결된 alpha 함수를 보고자할시 deltat는 작아야겠죠. //alpha를 initial guess 합니다. alpha0 For until (satisfied tolerance) //적분해서 h(t) 구합니다. h(t) //f(t) 구합니다. f(t) //g(t) 구합니다. g(t) //Objective function Objective = f(t) - g(t) * Exp(h(t)) //Objective 값이 tolerance에 드는지 확인합니다 Objective ==? tolerance //tolerance 에 들지 않을경우 update alpha EndFor //alpha 를 print 합니다 print alpha EndFor 끄적 적 몇자 적어보았습니다만 도움이 될지 모르겠습니다. 첨언한다면 수치적분은 그다지 어렵지 않을겁니다만.. 주어진 t에 대한 alpha initial guess 가 alpha 를 구하는데 가장 중요한 부분일겁니다. 만일 initial alpha 를 물리적으로 잘 제시할수 있는 아이디어가 있을시엔 Newton method 가 효과적입니다. 하지만 initial alpha 에 대한 특별한 아이디어 없을시엔 Simplex 법이 안정적입니다. -
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오동화님의 답변
2006-05-30- 0
>안녕하십니까? 여러분. >저는 최근에 아주 흥미있는 테마를 발견해서 몇달째 연구를 하고 있는데요, 이 문제를 풀어보니까 그 답을 적분방정식 형태로 구할 수 밖에 없었습니다. 저는 전공이 물리, 그중에서도 광학입니다. 따라서 제가 풀고 있는 문제도 광학문제인데, 그 문제의 형식은 거의 미분기하학의 문제가 아닌가 추측됩니다. 적분방정식이 굉장히 복잡해서 여기에 다 옮길 수는 없지만, 그 형식을 요약하면 다음과 같습니다. >t = t1에서 t2까지의 구간에 대하여 정의된 미지의 함수 x = x(t)가 있습니다. 이 함수에 대하여 F(f(x)) = g(x)를 만족하는 x = x(t)를 찾는 것이 문제입니다. 여기서 f(x)와 g(x)는 x에 대한 간단한 함수이고, F(f)는 f(x)를 x1 = x(t1)에서 x까지 부정적분하는 함수입니다. 이해가 되셨는지 모르겠군요. >저도 수치해석을 조금 하는데요, 여지까지 적분방정식으로 주어지는 문제는 풀어본적도, 본적도 없습니다. 이 문제를 푸는 몇가지 원시적인 알고리즘을 생각을 해 보았는데 확신이 서는 방법이 없습니다. 특히 오차의 누적과 관련하여. 혹시 이런 문제를 푸는 정석을 알고 계시는 분은 알려주시면 감사하겠습니다. 식을 다시보니 Monte Carlo방법으로도 풀수 있을것으로 생각됩니다.