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포와슨 방정식은 잘아시겠지요. 결국 선형과 비선형의 물리적개념을 이해하는 것이 중요할 것 같읍니다. 포와슨 방정식에 나오는 물리양중 비선형특성을 보일 수있는 물리양은 유전함수가 있읍니다. 즉 비선형물리양이 포함된 포와슨 방정식을 푸는 것이라고 할 수 있겠군요. 사실 자연현상은 거의 모두가 비선형특성을 보입니다. 이럴경우 방정식의 해를 구하는 것이 선형방정식의 해를 구하는 것에 비해서 상당히 시간도 많이걸리고 복잡합니다. 다행이 이를 풀수있는 산술적알고리듬이 많이 개발되어 있어 컴퓨터를 이용한 계산으로 비선형 방정식의 해를 구할 수 있을 것으로 생각됩니다.

선형과 비선형 미분방정식은 잘 구분하시리라 생각하고... 포아송 (미분) 방정식은 한 점에서 공간적인 변수에 대한 물리량의 변화를 다루는 부분에서 등장합니다. 초급과정에서 다루는 포아송 미분방정식은 대부분이 선형입니다. 물리량의 공간변화에 대한 미분을 보면 물리량이 그냥 선형으로 나오나 고급과정(아마 폴리머의 이온변화나 이온분포에 따른 정전기장 변화에서 나오는 듯)에서는 비선형이 등장하기도 합니다. 풀이가 가능할 때도 있으나 수치해석으로 다뤄야 하는 경우가 많습니다. * 비선형 포아송 미분방정식의 예: d² u/dx² = sinh u (편미분을 나타내는 공식 표현이 곤란해서 그냥 전미분으로 표시했습니다) 물리량인 u가 왼쪽에서는 미분연산자에 대해 분리가 되어 나오지만 오른쪽은 단순히 빠져나올 수 없습니다. 그래서 비선형인데 위의 예가 아닌 수많은 비선형 포아송 미분방정식이 있습니다. 유전율이 공간에 대하여 균일하지 않고 방향성을 가질 때 포아송 미분방정식이 비선형일 때가 많습니다 (아마 비균질 폴리머의 공간적인 유전율을 계산할 때 이런 형식이 나오는 듯 합니다). 이제 본격적으로 물리적인 의미를 살펴 봅시다. 물리에서는 대부분 2계 편미분방정식을 다룹니다. 공학에서는 4계 미분방정식을, 링의 진동에서는 6계나 8계 편미분방정식도 나옵니다. 2계 미분방정식은 물리량의 공간변화와 시간변화를 동시에 생각해주는 경우가 많으므로 미분계수의 앞에 나오는 상수의 크기를 고려한 판별식으로 풀이법을 결정합니다. (자세한 내용은 편미분 방정식 책을 참조하십시오) (1) 포물선형 미분방정식 주로 화학의 확산방정식이나 열흐름방정식에 나오는 형태로 u_t = a² u_xx. 왼쪽의 의미는 u라는 물리량의 시간적인 변화량이고, 오른쪽은 u라는 물리량의 공간변수에 대한 곡률(concavity)을 뜻합니다. 왼쪽은 시간에 대한 변화율을 의미하나 (물리량이 거리라면 속도) 오른쪽은 쉽게 이해를 할 수 없는 부분입니다. 오른쪽항을 극한 개념의 정의를 이용하여 재편집하면 u_xx(x,t) == 2/Dx²[(u(x+Dx,t)+u(x-Dx,t))/2-u(x,t)]로 바꿀 수 있습니다. Dx의 D는 델타(미소변화)를 뜻합니다. 차분방정식으로 바꾸어 2계 편미분방정식을 풀 때 나오는 형태와 같습니다. 이 공식의 물리적인 의미는 한 점에서 물리량과 인접한 두 점 사이의 물리량 평균값과 비교하는 것입니다. 한 점을 중심으로 그 점에서 물리량과 이웃하는 두 점의 평균값을 비교하여 양이 되거나 차가 없거나 음이되는 정도가 바로 물리량의 시간적인 변화량과 같음이 포물선형 미분방정식의 물리적인 의미입니다. 그래서 이웃한 두 점간의 평균값과 한 점의 물리량값의 차가 시간적인 물리량의 변화값이 되므로 결국 확산방정식을 의미합니다. (2) 쌍곡선형 미분방정식 파동방정식에 나오는 형태로 u_tt = a² u_xx. 오른쪽항은 물리량의 곡률(즉, 아래로 볼록, 위로 볼록)이고 왼쪽은 물리량의 2계 시간변화량입니다. 왼쪽은 잘 알다시피 물리량이 거리일때나 진폭일때는 가속도를 뜻합니다. 따라서 이 방정식은 뉴턴의 힘의 법칙을 달리 표현한 미분방정식입니다. 물리량의 곡률과 가속도가 같으므로 볼록한 방향과 가속도의 방향때문에 운동방정식이 됩니다. 그래서 이 방정식은 파동이 전파하는 모양을 나타내는 미분방정식입니다. (3) 타원형 미분방정식 정상상태(steady-state)의 물리량이 존재하는 곳에 나오며 미분방정식으로 u_xx = 0. 이 방정식의 물리적인 의미는 한 점을 중심으로 일정한 거리에 분포하는 지역의 물리량의 평균값과 중심점의 물리량 간의 차이가 없음을 말합니다. 즉, 정상상태가 되어 한 점을 중심으로 출입하는 물리량이 평형을 이루는 상태입니다. 만약 여기에 일정한 값이 더해지는 경우가 있는데, 이것이 바로 포아송방정식입니다. 경계조건 사이의 빈공간에서 물리량의 분포는 라플라스방정식으로 풀 수 있습니다. 정상상태이므로 경계조건에서 공급되는 물리량이 빈공간에서 균형을 이루어 한 점을 중심으로 나오는 양과 들어오는 물리량이 일정할 경우입니다. 경계조건 안에 어떤 물질이 있어 균형을 맞추는 양에 더해지거나 빼주는 형태가 포아송 방정식입니다. 예를들어 두 전극판 사이에 정전장을 구할 때는 라플라스방정식을 풀고, 두 전극판 사이에 점전하가 있거나 매질이 있어 전하가 일정한 분포를 이룰 때는 포아송 방정식이 됩니다. 여기서 전하량의 분포가 전장에 직접 영향을 주면서 비선형으로 분포하면 비선형포아송방정식이 됩니다. (예: sinh u ) 포아송 방정식은 d²u/dx² = f. 포아송 방정식도 오른쪽에 있는 항에 의해 성질이 달라집니다. (가) d²u/dx² = -p 이 식은 경계조건 내에 일정한 물질이 채워져 있는 경우로 u가 정전장이라면 전하의 분포가 공간상 일정하게 있는 곳의 정전장을 구하는 문제입니다. (나) d²u/dx² = -g(x) 이 식은 경계조건 내에 있는 물질의 공간적인 분포가 다를 경우입니다. 예를 들어 방바닥의 벽쪽 경계가 일정한 온도를 유지하고 있는데 가운데에 전열선을 설치하여 일정한 열을 가할 때 방바닥의 온도분포를 하는 경우입니다. (다) d²u/dx² + a u = 0 이 식은 파동방정식을 분리하여 공간항을 취급할 때 나오거나 잘 알려진 고유치문제로 헬름홀츠 방정식이라고도 합니다. 고유치문제기 때문에 별 설명이 없어도 되겠군요. 따라서 비선형 포아송방정식은 (나)와 같은 경우로, 특정한 양이 공간상에 복잡하게 분포하여 원하는 물리방정식에 영향을 줄 때 경계조건내에서 물리량의 분포를 구하는 방정식이라고 볼 수 있군요. 그러나 비선형이므로 특정한 양의 분포가 원하는 물리량의 공간분포에 직접 영향을 주는 형태로... d²u/dx² = g(u, x) 라고 할 수 있습니다. 3차원일 때는 왼쪽 편미분의 변수를 3개로 바꾸면 됩니다. *** 자세한 내용은 PDF로 작성하여 나중에 제 홈페이지에 올려놓겠습니다^^ ***