2011-03-02
org.kosen.entty.User@4f8c6bba
류명관(mkryumk)
- 5
편미분 방정식 잘아시는분께 여쭈어보고자합니다. 논문을 보다가 아무리해도 풀리지가 ？아서, 여쭤보게되었습니다.
시간(t)과 거리(x)에 관한 함수 u(x,t)의 편미분방정식을 푸는겁니다.
uxx=∂^2u/∂x^2, ux=∂u/∂x, ut=∂u/∂t로 정의하고, D,h는 상수일때,
D(uxx) + h(ux) - ut = 0 (-∞ < x < 0) 이고,
초기조건 : u(x,0)=u0
경계조건-1 : ux=-(h/D)u (x=0)
경계조건-2 : ux=0 (x=-∞)
여기서, u(x,t)를 구하는 겁니다.
보통문헌에는 D(uxx) - ut = 0 이런것이 많죠(heat equation)이것은 풀리는데,
h(ux)가 들어가니 잘풀리지않아서 조언을 구합니다.
제가 했던방식은,
x와 t에 대한 함수로 변수분리하고, 각각에 대한 식을 얻어서
u(x,t)=F(x)G(t)를 얻은다음, 푸리에변환으로 u(x,t)의 최종형태를 얻고자했는데요.
이런 방식이 맞는건지요?
매트랩, 매스매티카는 아직 사용할줄 모릅니다. 그리구, 물리적인 의미를
이해하려고, 직접 손으로 써가면서 풀어보고싶어서요..
- 편미분
- Diffusion
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각 분야 한인연구자와 현업 전문가분들의 답변을 기다립니다.
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답변 5
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답변
이응신님의 답변
2011-03-03- 2
변수분리를 하면 쉽게 해결되는 문제입니다. 전체방정식은 열방정식에서 댐핑부분이 추가된 형태로 약간 복잡하게 나옵니다. 실제로 변수분리를 해보면 공간항은 2계상미분방정식으로 나오고 시간항은 단순한 지수함수로 시간이 지남에 따라 감소합니다. (이렇게 감소하도록 변수분리할 때 오른쪽의 상수를 -c^2으로 해야 물리적인 의미가 살아나겠지요) 일반적인 열방정식과 다른 점은 열방정식은 댐핑 부분이 없으므로 단순한 조화방정식으로 되어 진동으로 되나 본 방정식은 댐핑부분이 공간항에 추가되므로 일반적인 2계상미분방정식처럼 공간항의 조건에 의해 감쇠하는 부분이 들어가서 조건에 따라 분포가 달라집니다. (흡사 2계 상미분방정식이 시간에 따라 경감쇠, 과감쇠, 한계감쇠 등으로 3가지 경우로 나누어지듯이) 나중에 두 함수를 곱하면 시간항이 지수함수로 감소하므로 시간이 지남에 따라 열이 줄어들거나 공간으로 퍼져감에 따라 해당 공간에서는 점차로 줄어지겠지요. 한 점을 보면 공간적인 구조에 따라 해당 물리량이 줄어들거나 그대로 진동을 할것이고 (2계 공간 상미분의 계수에 의해)시간항에 의해 점차 모든 점에서 일정하게 지수함수로 감소하겠지요. 공간항의 조건에 의해 여러 함수가 복합적으로 덧셈으로 주어지기 때문에 공간항의 해는 더하기로 결합하고 시간항을 곱해 초기조건과 경계조건으로 상수를 정하면 됩니다. 퓨리에 변환을 이용할 수도 있으나 사용하지 않아도 충분히 풀리는 문제입니다. >편미분 방정식 잘아시는분께 여쭈어보고자합니다. 논문을 보다가 아무리해도 풀리지가 ？아서, 여쭤보게되었습니다. > >시간(t)과 거리(x)에 관한 함수 u(x,t)의 편미분방정식을 푸는겁니다. > >uxx=∂^2u/∂x^2, ux=∂u/∂x, ut=∂u/∂t로 정의하고, D,h는 상수일때, > >D(uxx) + h(ux) - ut = 0 (-∞ < x < 0) 이고, > >초기조건 : u(x,0)=u0 >경계조건-1 : ux=-(h/D)u (x=0) >경계조건-2 : ux=0 (x=-∞) > >여기서, u(x,t)를 구하는 겁니다. > >보통문헌에는 D(uxx) - ut = 0 이런것이 많죠(heat equation)이것은 풀리는데, >h(ux)가 들어가니 잘풀리지않아서 조언을 구합니다. > >제가 했던방식은, > >x와 t에 대한 함수로 변수분리하고, 각각에 대한 식을 얻어서 >u(x,t)=F(x)G(t)를 얻은다음, 푸리에변환으로 u(x,t)의 최종형태를 얻고자했는데요. >이런 방식이 맞는건지요? > >매트랩, 매스매티카는 아직 사용할줄 모릅니다. 그리구, 물리적인 의미를 >이해하려고, 직접 손으로 써가면서 풀어보고싶어서요.. > -
답변
류명관님의 답변
2011-03-04- 2
eisenbahn님 말씀대로, h항은 음의값일 것같습니다. 참고로, 이논문은 Physical Review Letter에 나온것인데, Moving boundary가 존재하는 diffusion식입니다. Evap에 의해서 건조되고있는 용매가 섞인 액상막의 거동을 설명하는 논문입니다. 자유표면으로부터 용매가 evap되면서, 자유표면이 낮아지는 거죠. 자유표면과 기판과의 계면이 Boundary가 되며, 자유표면이 줄어드는속도가 h입니다. h의 방향은 기판방향이므로 음의값이 될것같구요. 그리고 경계조건에서 x가 -inf로 갈때 미분값이 0인것은 기판과의 계면에의 boundary조건입니다. 이것을 설명하려면 논문을 보면서 얘기해야할것같습니다. 하지만, eisenbahn님께서 시간이 되실지 안되실지 모르니, 혹시라도 이메일로도 discussion하실 의향이 있으신지 여쭈고 싶습니다. 어찌되었는든, 저는 이 문제를 풀어야해서... (지금도 계속 풀어보고있네요.^^) 여기까지라도 discussion해주시고, 조언해주신 eisenbahn님께 진심으로 감사드립니다.
이응신(eisenbahn) 2011-03-04아... 가변경계조건이니까 당연히 공간에 대한 미분이 경계조건으로 들어갈 수도 있군요. 어차피 열전도방정식이나 확산방정식은 입자가 확산하느냐 열이 확산하느냐의 차이기 때문에 같은 형태의 미분방정식이겠지요. 논문에 발표된 방정식이라면 저자가 풀이까지 깔끔하게 했을 것입니다. 시간이 없어 풀지는 못하나 대략적인 감으로 예상한 것인데...
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이응신님의 답변
2011-03-05- 2
Sneddon의 퓨리에변환 책을 보고 정리했습니다. 급히 문서를 작성한 까닭에 도중에 수식에서 상당한 오자가 있을 수 있습니다. 더 자세한 풀이과정을 원한다면 편미분방정식 책이나 Sneddon의 퓨리에변환 책을 참고하세요. >편미분 방정식 잘아시는분께 여쭈어보고자합니다. 논문을 보다가 아무리해도 풀리지가 ？아서, 여쭤보게되었습니다. > >시간(t)과 거리(x)에 관한 함수 u(x,t)의 편미분방정식을 푸는겁니다. > >uxx=∂^2u/∂x^2, ux=∂u/∂x, ut=∂u/∂t로 정의하고, D,h는 상수일때, > >D(uxx) + h(ux) - ut = 0 (-∞ < x < 0) 이고, > >초기조건 : u(x,0)=u0 >경계조건-1 : ux=-(h/D)u (x=0) >경계조건-2 : ux=0 (x=-∞) > >여기서, u(x,t)를 구하는 겁니다. > >보통문헌에는 D(uxx) - ut = 0 이런것이 많죠(heat equation)이것은 풀리는데, >h(ux)가 들어가니 잘풀리지않아서 조언을 구합니다. > >제가 했던방식은, > >x와 t에 대한 함수로 변수분리하고, 각각에 대한 식을 얻어서 >u(x,t)=F(x)G(t)를 얻은다음, 푸리에변환으로 u(x,t)의 최종형태를 얻고자했는데요. >이런 방식이 맞는건지요? > >매트랩, 매스매티카는 아직 사용할줄 모릅니다. 그리구, 물리적인 의미를 >이해하려고, 직접 손으로 써가면서 풀어보고싶어서요.. > -
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이응신님의 답변
2011-03-03- 0
경계조건에 따라 공간항을 구할 때 개별 해를 모두 더하기를 하고 각 항에 대한 계수를 구하려면 푸리에 적분이 필요하겠군요. (단순한 적분으로 계수를 구해야 하는 지 아니면 댐핑항 때문에 적분 변환을 해야 하는 지 풀어봐서 결정하세요) 나중에 풀어보시고 답을 알려주세요^^ (생각같아서는 풀어보고 의견을 교환했으면 좋겠으나 요즈음 바쁜 일이 워낙 많아서리) >편미분 방정식 잘아시는분께 여쭈어보고자합니다. 논문을 보다가 아무리해도 풀리지가 ？아서, 여쭤보게되었습니다. > >시간(t)과 거리(x)에 관한 함수 u(x,t)의 편미분방정식을 푸는겁니다. > >uxx=∂^2u/∂x^2, ux=∂u/∂x, ut=∂u/∂t로 정의하고, D,h는 상수일때, > >D(uxx) + h(ux) - ut = 0 (-∞ < x < 0) 이고, > >초기조건 : u(x,0)=u0 >경계조건-1 : ux=-(h/D)u (x=0) >경계조건-2 : ux=0 (x=-∞) > >여기서, u(x,t)를 구하는 겁니다. > >보통문헌에는 D(uxx) - ut = 0 이런것이 많죠(heat equation)이것은 풀리는데, >h(ux)가 들어가니 잘풀리지않아서 조언을 구합니다. > >제가 했던방식은, > >x와 t에 대한 함수로 변수분리하고, 각각에 대한 식을 얻어서 >u(x,t)=F(x)G(t)를 얻은다음, 푸리에변환으로 u(x,t)의 최종형태를 얻고자했는데요. >이런 방식이 맞는건지요? > >매트랩, 매스매티카는 아직 사용할줄 모릅니다. 그리구, 물리적인 의미를 >이해하려고, 직접 손으로 써가면서 풀어보고싶어서요.. > -
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이응신님의 답변
2011-03-04- 0
일단 풀어보았는데 ... 미분방정식의 댐핑항의 부호가 적절하지 않습니다. 왜냐하면 h(ux)가 (+)로 된다면 특성방정식에서 공간항의 지수항이 바깥으로 나오는 부분에서 항상 (-)부호가 붙게 되므로 결국 경계조건에서 x=-infinity 를 넣었을 때 항상 (+)가 되어 풀이가 발산하게 됩니다. 따라서 미분방정식이 D(uxx)-h(ux)-(ut)=0 이라고 해야 댐핑항이 음의 무한대에서 감쇠가 되므로 방정식이 성립됩니다. 어차피 공간항의 구간값이 -infinity < x < 0 이라고 했으므로 여기에 방정식을 맞추어야 하지 않을까요? 물론 계수 D, h에 대한 부호가 주어지지 않았으므로 어떻게 되는지는 몰라도요. 그리고 경계조건도 약간 이상합니다. x=0에서 함수값의 공간에 대한 1차 미분으로 주어지는 것은 무난하나 x=-infinity에서 1차 미분으로 주어지는 것은 별로 의미가 없지 않습니까? 음의 무한대에서 함수값이 0이 되는 것은 물리적인 타당성이 있으나 미분값을 0으로 하는 것은 의미가 별로 없는 경계조건이지 않나요? >편미분 방정식 잘아시는분께 여쭈어보고자합니다. 논문을 보다가 아무리해도 풀리지가 ？아서, 여쭤보게되었습니다. > >시간(t)과 거리(x)에 관한 함수 u(x,t)의 편미분방정식을 푸는겁니다. > >uxx=∂^2u/∂x^2, ux=∂u/∂x, ut=∂u/∂t로 정의하고, D,h는 상수일때, > >D(uxx) + h(ux) - ut = 0 (-∞ < x < 0) 이고, > >초기조건 : u(x,0)=u0 >경계조건-1 : ux=-(h/D)u (x=0) >경계조건-2 : ux=0 (x=-∞) > >여기서, u(x,t)를 구하는 겁니다. > >보통문헌에는 D(uxx) - ut = 0 이런것이 많죠(heat equation)이것은 풀리는데, >h(ux)가 들어가니 잘풀리지않아서 조언을 구합니다. > >제가 했던방식은, > >x와 t에 대한 함수로 변수분리하고, 각각에 대한 식을 얻어서 >u(x,t)=F(x)G(t)를 얻은다음, 푸리에변환으로 u(x,t)의 최종형태를 얻고자했는데요. >이런 방식이 맞는건지요? > >매트랩, 매스매티카는 아직 사용할줄 모릅니다. 그리구, 물리적인 의미를 >이해하려고, 직접 손으로 써가면서 풀어보고싶어서요.. >
감사합니다. 일단 다시한번 해보겠습니다.