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Umklapp process에서 역격자벡터를 임의로 더할 수 있는 이유

반도체 열전도도에 대한 이론을 공부하고 있는데요... 포논-포논간 산란에 대한 내용만 보면, 저온 영역에서 실험치와 잘 맞는 Normal process와 중고온영역에서 잘 맞는 Umklapp process가 있는 것으로 알고 있습니다. Normal process는 쉽게 수긍될만 합니다만, Umklapp process는 두개의 포논간의 산란에 의해 새롭게 생성되는 포논이 기존 대로라면 벡터의 합으로 표현되야 하지만 1차브릴루앙존을 약간 벗어나서 반대방향의 역격자 벡터를 추가하여 반대방향을 향하면서 파장이 길어진다고 하는데요... 제가 아직 k공간과 실공간 그리고 브릴루앙존에 대한 이해가 부족하여 이해가 안되는 측면이 크다고 봅니다만, 어떤자료를 보니 2차원의 1차브릴루앙존을 생각해볼때 경계면을 시작점으로해서 함수가 주기적으로 나타나던데요...이것과 관련있을까요? 그리고 전자와 포논의 k공간-실공간 관계는 동일하게 생각하면 되는 건가요?
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답변 1
  • 답변

    안길홍님의 답변

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    격자진동의 양자화를 phonon이라고 하는데, 고체 내의 탄성파에 대해서도 그 진동수를 h배한 에너지양자, 즉 격자진동의 에너지양자-음향양자 또는 음자:phonon-이 수반된다고 할 수 있습니다. 이러한 격자진동에는 음향적 진동(acoustic vibration)과 광학적 진동(optical vibration)으로 나눌 수 있습니다. 또한 가전자대와 전도대가 겹치는 금속이 아닌 유전체인 물질에는 금지대(forbidden band)라는 전자의 존재가 허용되지 않는 에너지 값이 존재하는 구역이 있습니다. 다시 말하면 허용에너지띠(가전자띠)와 허용에너지띠(전도띠)사이에 금지띠라는 영역이 존재합니다. 이러한 구역을 제1Brillouin영역에서 x축에서 0을 기준으로 하여 좌우로 -π/a와 π/a영역에 해당합니다. 그리고 그때 Emax는 최대 에너지 허용을 가지고 있으며 이를 초과하여 에너지를 가질 수 없습니다. 즉 에너지가 깊은 우물에 빠져있는 것과 같은 상태에 놓여있게 되며 이때 같힌 전자의 퍼텐셜에너지는 일정하고 그 값은 0이 됩니다. 이러한 결정에 전자파가 입사될 경우 반사면과 직각인 방향으로 입사될 경우 전반사가 일어나지만 다른 각도로 입사되게 되면 Bragg의 회절조건에 의하여 반사파와 투과파가 발생하게 되는 것입니다. 이를 three phonon process라고 할 수 있습니다. 반사파와 투과파를 vector합에 의하여 합하게 되면 앞서의 제1 Brillouin영역에서 x축에서 0을 기준으로 하였으므로 좌우를 합산하게 되면 0이라는 벡터합이 나오게 됩니다. 이와 같은 격자를 역격자(reciprocal lattice)의 형태라고도 합니다. 비교적 낮은 온도에서의 phonon은 이러한 금지띠를 뛰어 넘을 수 있는(우물에서 빠져나올 수 있는, 퍼텐셜장벽을 넘을 수 있는) 에너지가 충분히 주어지지 못하고 같은 크기의 반사파와 투과파가 존재하게 되어 제1 Brillouin영역에서의 금지띠에서의 phonon에너지 합은 0이 되게 되는 것입니다. Umklapp process(scattering)은 3차원 격자에서 일어나는 three phonon process를 의미하고 있는 것으로 외부에서 주어지는 에너지에 의하여 충돌하는 phonon이 소멸될 수도 있고, 가속(?)될 수도 있는 과정을 보여주는 것이라고 할 수 있겠습니다. 고체물성이론에 기초하는 내용으로 좀 더 깊게 설명드리지 못한 점 죄송스럽게 생각합니다.
    격자진동의 양자화를 phonon이라고 하는데, 고체 내의 탄성파에 대해서도 그 진동수를 h배한 에너지양자, 즉 격자진동의 에너지양자-음향양자 또는 음자:phonon-이 수반된다고 할 수 있습니다. 이러한 격자진동에는 음향적 진동(acoustic vibration)과 광학적 진동(optical vibration)으로 나눌 수 있습니다. 또한 가전자대와 전도대가 겹치는 금속이 아닌 유전체인 물질에는 금지대(forbidden band)라는 전자의 존재가 허용되지 않는 에너지 값이 존재하는 구역이 있습니다. 다시 말하면 허용에너지띠(가전자띠)와 허용에너지띠(전도띠)사이에 금지띠라는 영역이 존재합니다. 이러한 구역을 제1Brillouin영역에서 x축에서 0을 기준으로 하여 좌우로 -π/a와 π/a영역에 해당합니다. 그리고 그때 Emax는 최대 에너지 허용을 가지고 있으며 이를 초과하여 에너지를 가질 수 없습니다. 즉 에너지가 깊은 우물에 빠져있는 것과 같은 상태에 놓여있게 되며 이때 같힌 전자의 퍼텐셜에너지는 일정하고 그 값은 0이 됩니다. 이러한 결정에 전자파가 입사될 경우 반사면과 직각인 방향으로 입사될 경우 전반사가 일어나지만 다른 각도로 입사되게 되면 Bragg의 회절조건에 의하여 반사파와 투과파가 발생하게 되는 것입니다. 이를 three phonon process라고 할 수 있습니다. 반사파와 투과파를 vector합에 의하여 합하게 되면 앞서의 제1 Brillouin영역에서 x축에서 0을 기준으로 하였으므로 좌우를 합산하게 되면 0이라는 벡터합이 나오게 됩니다. 이와 같은 격자를 역격자(reciprocal lattice)의 형태라고도 합니다. 비교적 낮은 온도에서의 phonon은 이러한 금지띠를 뛰어 넘을 수 있는(우물에서 빠져나올 수 있는, 퍼텐셜장벽을 넘을 수 있는) 에너지가 충분히 주어지지 못하고 같은 크기의 반사파와 투과파가 존재하게 되어 제1 Brillouin영역에서의 금지띠에서의 phonon에너지 합은 0이 되게 되는 것입니다. Umklapp process(scattering)은 3차원 격자에서 일어나는 three phonon process를 의미하고 있는 것으로 외부에서 주어지는 에너지에 의하여 충돌하는 phonon이 소멸될 수도 있고, 가속(?)될 수도 있는 과정을 보여주는 것이라고 할 수 있겠습니다. 고체물성이론에 기초하는 내용으로 좀 더 깊게 설명드리지 못한 점 죄송스럽게 생각합니다.
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