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1번 식이 제일 어려운데 이해가 되었는데 2번 식을 모를 리가 없습니다. 여기 홈페이지에서 MathJax가 지원이 된다면 어렵게 그래픽으로 수식을 나타내지 않아도 되는데... 1번식을 잘 보세요. 수학적인 처리 방식을 물리적으로 해석한 것입니다. 전미분 df는 말 그대로 한 점에서 어떤 함수량의 증가분입니다. 물리적으로 해석하려면 d가 아니라 Delta가 되어야겠지요. 전미분 df를 수학적으로 처리하기 위해 좌표계를 설정하는데 변수를 2개 잡고 (x,y) 각 변수방향으로 증가분을 정의하고, 예를 들어, dx, dy 등, 각 좌표계 방향으로 증가한 양을 계수로 하는 편미분으로 나타냅니다. df = (partial f)/(partial x) dx + (partial f)/(partial y) dy 이 식을 열역학에서 나오는 물리적인 관점에서 해석을 하면 다음과 같습니다. U(S,V) ==> dU = (partial U)/(partial S) dS + (partial U)/(partial V) dV 내부 에너지의 증가분은 엔트로피의 증가방향으로 (partial U)/(partial S)만큼, 부피증가 방향으로 (partial U)/(partial V) 만큼 증가한 양을 더해서 나타낼 수 있다고 가정합니다. 그러면 dU가 물리적으로 증가분이라고 하면 dS와 dV는 무슨 양인가 궁금합니다. 이 양은 열역학 교재를 잘 읽어보면 나와있습니다. 측정 장비를 사용할 때 단위 증가량(unit)입니다. 내부에너지 증가량을 알아내려고 하는데 외부에서 측정하는 장비는 엔트로피 증가량과 부피 증가량을 측정해야 하는데 잘 알다시피 엔트로피 증가를 측정하는 장비는 없습니다.(요즈음 원자 수준에서 측정하는 장비가 있기는 합니다만 거시 세계에서 측정하는 장비는 없습니다) 부피증가량은 당연히 자로 재면 됩니다. 따라서 측정장비로 잴 수 있는 양으로 바꿔야 하는데 이것이 맥스웰 관계식을 이용하는 가장 중요한 이유입니다. 실제로 수학적으로는 컨텍트 변환이라는 르장드르 변환을 해야 합니다. 엔탈피 H = U + pV로 바꾸고 다시 맥스웰 관계식을 이용하여 자유에너지 F = U - TS로 바꾸면 최종적으로 측정가능한 양으로 바뀝니다. ------------------------------------------- 2번식은 편미분 관계식에서 자연스럽게 나오는 결과입니다. 변수가 여러 개일 때 편미분은 미분을 하는 순서와 관계없다는 정리에서 유도가 됩니다. 편미분에서는 해당 변수 하나만 고려하기 때문에 다른 변수는 상수로 봐서 이런 정리가 성립되는 것입니다. f = x*y^2이라는 식을 x에 대해 편미분 해보면 다음과 같습니다. (partial f)/(partial x) = y^2, 이 식을 다시 y에 대해 편미분을 하면 (partial)/(partial y)y^2 = 2y f를 y에 대해 먼저 편미분을 하면 (partial f)/(partial y) = 2y*x 이 양을 다시 x에 대해 편미분 하면 (partial)/(partial y) 2y*x = 2y 편미분을 하는 순서와 관계없이 같은 결과가 됩니다. (partial^2)f/{(partial x)(partial y)}= (partial^2)f/{(partial y)(partial x)} ------------------------------------------- 이런 사실을 내부에너지 증가분에 대하여 적용하면 다음과 같습니다. dU = TdS- pdV 관계식에 의해 (partial U)/(partial S) = T (partial U)/(partial V) = -p 편미분 관계를 이용하면 (partial^2)U/{(partial S)(partial V)}= (partial^2)U/{(partial V)(partial S)} 따라서 (partial T)/(partial V)|S = -(partial p)/(partial S)|V 더 정확하게 나타내기 위해서는 고정하는 변수를 나타내야겠지요. 전미분과 편미분의 더 정확한 의미를 알려면 BOAS의 수리물리학이나, PENROSE의 "Road to Reality" 라는 책에 자세히 나와있습니다.

(1)번은 전미분의 정의라 볼 수 있습니다. (2)번은 f가 이변수 함수이므로 먼저 x대해 편미분하고 그 다음 y에 대해 편미분하는 것이 좌변이고, 먼저 y에 대해 편미분하고 그 후 x에 대해 편미분하는 것이 우변인데 순서를 바꿔도 미분값은 같다는 것을 의미하지요..