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그런데 제곱근 2를 소수로 표현 하면 1.414... 정도로 계속 해서 다음숫자를 정해 나갈수 잇는데
이 소수 표현은 십진법으로 표현할때 유리수의 무한합이 되는데요
1+1/10+4/10^2+1/10^3+4/10^4......어떤수/10^n =N/M (N,M 은 자연수)
이때 n번째 까지는 유리수이고 n+1번째 까지도 유리수 인데
무리수를 어떻게 생각해야 되나요?
- 유리수
- 무리수
- 실수
각 분야 한인연구자와 현업 전문가분들의 답변을 기다립니다.
-
답변
김주혁님의 답변
2013-11-20- 4
무리수는 분수로 나타낼 수 없는 수로 알고 있습니다.
위의 루트2 역시 n번째까지는 유리수 일지언정 이는 무한정 이어지는 값이기에
분수로 표현할 수 없지 않나요?
저는 그냥 2분의1 식으로 분수로 못 만들면 무리수로 생각합니다. -
답변
이응신님의 답변
2013-11-20- 3
수학관련 자료를 살펴보면 질문에 대한 답이 엄청 많이 나옵니다.
무리수라는 영어 단어와 한자용어를 생각해보면 합리적으로 생각할 수 없는 수라는 의미가
무리수입니다. 좀 더 수학적인 정의를 보면 '셀 수 없는 수'가 무리수입니다.
유리수를 셀 수 있는 수라고 하는 이유는 자연수를 셀 수 있는 수라고 하고 분자와 분모를
자연수로 구성하면 결국 유리수는 셀 수 있는 수가 됩니다. 세로줄을 분모라고 하고
가로줄을 분자라고 하면 전체 셀 수 있는 유리수 테이블이 만들어집니다.
1 2 3 4 5 6 7 ....
1 1/1 2/1 3/1 4/1 5/1 6/1 7/1 ...
2 1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2 ...
3 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3 7/3 ...
4 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4 7/4 ...
...........
이렇게 하면 유리수는 결국 셀 수 있는 수로 귀착이 됩니다.
이제는 앞에서 지적한대로 소수점이하 내려가는 수를 가정하고 일일이 셀 수 있는가를
따져보면 놀랍게도 어떤 수는 유리수 방식으로 셀 수 없는 수가 존재할 수 있음을 증명할 수
있습니다. 집합론을 창시한 칸토르가 1800년대 말에 증명하였는데 다들 셀 수 없는 수가
존재함을 증명할 수 있다는 사실에 놀랐는데.... 이날 데데킨트라는 수학자에게 편지를 보낸
날을 집합론이 탄생한 날로 말합니다.
자세한 내용은 집합론에서 칸토르가 증명한 방법을 꼼꼼히 읽어보면 왜 무리수가 존재해야
하는가를 이해할 수 있습니다.
논리적으로 생각해봐도 유리수가 조밀하게 있을 때 '연속'이라는 개념의 실수를
만족시키려면 점으로 조밀하게 있는 유리수 사이를 채워줘야 하는 어떤 수가
있어야만 합니다. 유리수 사이를 메꾸어 연속으로 만드는 수, 이 수가 바로 무리수입니다.
따라서 유리수 사이를 채워주는 수는 끝이 유한하거나 셀 수 있으면 안되니까 무리수가
있어야만 하겠지요.
참고로 수학자들의 증명에 따르면 유리수의 개수보다 무리수의 개수가 더 많다고 합니다.
이응신(eisenbahn) 2014-01-28？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？?？？？？？？？？ ？？？？？？？？??？？？？？？？？？？？？？？？？. ？？？？？？？？?？？？？？？？？ ？？？？？？？？?？？？？？？？？？？？？？？？？?？？？？？？？？ ？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？ ？？？？？？？？？？？？？？？？?？？？？？？？？？？？？？？？？.
김주혁(kjh5703) 2014-03-17？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？?？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？ ？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？?？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？?？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？
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답변
백인수님의 답변
2015-10-01- 0
첨부파일
수학적 귀납법을 잘못 생각하면 이상한 논리에 빠질 수 있습니다. 수학적 귀납법은 그냥 상식적인 사고입니다. 첫번째(n=1) 성립함을 보이고, 그 다음 연속해서 성립함을 보이는 것입니다. 즉 n=k일때 성립함을 가정하면 n=k+1일때도 성립함을 보이는 것입니다. 그렇다면 n=1,n=2,n=3,...등으로 모든 n=k일때 성립함을 설명할 수 있겠지요. 지금 질문 내용으로 보아서 그렇습니다.
유리수는 영어로 rational number로서 ratio(비)가 있는 유비수입니다. 즉 분수입니다. 무리수는 분수로 나타낼 수 없는 수 즉, irrational number 입니다. 근세까지 도저히 유리수(유한소수)로 나타낼 수 있는 방법을 찾지 못하다가 드디어 극한을 이용해서 또는 Cauchy 수열을 이용해서 나타낼 수 있었답니다. 요즘 우리가 사용하는 무한소수방법이지요. 예를 들면 무리수 루트 2는 1.414213... 입니다.
사족인 것 같지만 이와 유사한 질문으로서, 0.9999...<1인지, 아니면 0.999...=1인지를 묻는 질문이 있습니다. 정답은 0.999...=1입니다. 다 표현 방법의 차이일 뿐입니다.