2014-07-22
org.kosen.entty.User@1909e42d
김선우(fpppswth)
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첨부파일
사진 첨부 하였습니다. 상황은 수조에 물을 채우고 직육면체 나무토막을 세로로 담그었습니다. (넘어지지 않는다고 가정; 공기저항 또한 무시합니다.)그리고 나무도막을 x 길이만큼 눌렀다 떼었습니다. 그러면 이 단진동운동의 주기는 얼마인지 구하고 싶습니다.(A를 직육면체의 단면이라 가정하였습니다.)
어떤.. 책의(저자가 분명하지 않은..) 이 상황에 대한 풀이를 보았는데 주기를 구하는 식이
mrw^2=A*rho(유체)*g*x 라고만 해서 주기를 구했더라구요..
그런데.. 제 소견으로는 사진에서 가정한 바와 같이 두부분으로(나무토막을 눌렀을 때와 나무토막이 가장 많이 튀어 올랐을 때로) 나누어 각각 주기를 계산 후, 둘을 더하고 2로 나누어주어야 한다고 생각했습니다..(x"는 평형지점으로 부터 최대로 튀어오른 길이 입니다.)
어떻게 이 상황에 대해 주기를 구하는 것이 맞을지 답변 부탁드립니다.
제가 이해하실 수 있게 글을 쓴 것인지 걱정되지만.. (애매한 부분이 있다면 다시 글 정정하겠습니다.)
답변 부탁드립니다. 읽어주셔서 감사합니다.
어떤.. 책의(저자가 분명하지 않은..) 이 상황에 대한 풀이를 보았는데 주기를 구하는 식이
mrw^2=A*rho(유체)*g*x 라고만 해서 주기를 구했더라구요..
그런데.. 제 소견으로는 사진에서 가정한 바와 같이 두부분으로(나무토막을 눌렀을 때와 나무토막이 가장 많이 튀어 올랐을 때로) 나누어 각각 주기를 계산 후, 둘을 더하고 2로 나누어주어야 한다고 생각했습니다..(x"는 평형지점으로 부터 최대로 튀어오른 길이 입니다.)
어떻게 이 상황에 대해 주기를 구하는 것이 맞을지 답변 부탁드립니다.
제가 이해하실 수 있게 글을 쓴 것인지 걱정되지만.. (애매한 부분이 있다면 다시 글 정정하겠습니다.)
답변 부탁드립니다. 읽어주셔서 감사합니다.
- 단진동
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각 분야 한인연구자와 현업 전문가분들의 답변을 기다립니다.
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답변 1
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답변
이응신님의 답변
2014-07-22- 1
어떤 경우가 되더라도 물체가 단진동 운동을 한다면 주기는 운동에너지와 위치에너지의 교환비율로 나오게 됩니다. 즉, 운동에너지를 결정하는 관성력과 위치에너지를 결정하는 복원력의 비례관계로 나오기 때문에 omega^2 = g/L 또는 omega^2 = k/m 형태가 됩니다. 따라서 본 문제도 복원력을 일으키는 부력을 구해서 관성력과 부력의 합이 영이 되는 미분방정식을 세우면 간단하게 풀립니다.
rho_w*V*g = rho_f*g*V0 (rho_w: 나무토막의 밀도, rho_f: 유체의 밀도, V: 나무토막의 부피, V0: 물속에 잠긴 나무토막의 부피)
나무토막이 물속에 잠긴 부분에 해당하는 유체의 무게가 부력에 해당합니다. 부력이라고 하면 원래 유체가 있어야 할 부분에 다른 물체(주로 고체)가 유체를 밀어내서 밀려나간 유체가 물체에 작용하는 힘입니다. 다른 말로 물체가 밀어낸 부피에 해당하는 유체의 무게가 부력입니다.
따라서 부력의 관계식에 의해 y0*rho_f *A= rho_w*L*A (L: 나무토막의 전체 길이)
나무토막을 눌러 y 만큼 유체안으로 더 들어갔다면... (단, y << L)
복원력은 -rho_f*g*A*y (A: 나무토막의 단면적)이므로
미분방정식은
m*d^2y/dt^2 + rho_f*g*A*y = 0
따라서 진동수는 (각진동수) omega^2 = rho_f*g*A/m
관계식을 정리하면 m = rho_w*A*L 이므로 (나무토막의 질량)
omega^2 = rho_f/rho_w *g/L = g/y0 (위의 y0 = rho_w/rho_f*L의 관계식으로부터)
각진동수의 제곱은 익숙한 단진동의 진동수와 같은 모양이 되어 논리적으로 정확했음을 알 수 있습니다.
* 이해가 잘 안되면 말씀하세요. 첨부파일로 깔끔한 수식으로 정리하겠습니다. 설명만 읽어도 충분하겠지요?