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1. 학부 물리화학 책에 보면 수소모형의 양자역학 계산이 나옵니다. 극좌표계에서 슈레딩거 방정식을 보면 세 개의 변수가 나오는게 바로 r, theta, phi입니다. 이 방정식을 풀기 위해서 세 개의 변수를 분리해서 각각의 방정식을 풀게 됩니다. (물리화학 책에 보시면 이 과정이 잘 나옵니다.) 세 개의 방정식 중에서 theta 변수를 포함한 방정식을 풀게 되면 부양자수는 0 혹은 양의 정수가 되어야 합니다. 이런 이유로 부양자수는 0부터 시작하는 것입니다. 수학적으로 방정식을 풀다 보니 이르게 된 결과입니다.

 

2. diagonal rule (전자를 오비탈에 채워 넣는 aufbau 규칙을 그림으로 표현한 것, 구글에 치면 나옵니다)에서 전자를 넣는 순서는 n과 l의 합이 작은 수에서 큰 수로 넣게 됩니다. (합이 같으면 n 값이 작은 것부터 큰 곳으로 채웁니다.) 4s는 (4+0)=4가 되고 3d는 (3+2)=5가 되므로 전자를 3d에 먼저 넣고 4s에 채우게 됩니다. 단, 조건이 있는데 전자가 없는 빈 오비탈의 경우입니다. 전자가 채워지면 아시는 것처럼 4s > 3d 가 됩니다.

슈뢰딩거 방정식의 정상상태 해를 풀어보면 (수소원자) 기존의 보어모델에서 제시하는 에너지 준위에 관련된 부분과 전자들의 각운동량과 스핀 상태를 동시에 기술하는 방정식으로 분리됩니다. 전자가 하나뿐인 수소원자의 전자가 여기되어 어느 에너지준위로 올라가느냐에 따라 스펙트럼이 결정되는데 그런 스펙트럼을 보면 에너지준위가 높은 곳으로 올라간 전자들이 낮은 준위로 내려오면서 생기는 스펙트럼을 해상도가 좋은 분광기로 보면 미세하나마 주양자수에 해당하는 에너지준위와 약간의 차이가 생기는 선들이 보입니다.  주양자수는 보어모델에서 수소 스펙트럼을 분석할 때 나오는 주요 스펙트럼의 선에 해당되는데 분광기가 발달하면서 미세 진폭까지 분석하는 기능과 기법들이 나오면서 보어모델에서 주양자수에 해당하는 에너지 준위 만으로 설명할 수 없는 미세 변이가 있어 이것을 설명하기 위한 방법으로 슈뢰딩거의 방정식을 풀게 되는 것입니다.

슈뢰딩거 방정식을 해밀턴 연산자로 풀다보면 2계 미분방정식이 나오는데 (이것도 뉴턴의 미분방정식을 그대로 적용하게 됩니다), 구형좌표계로 변환을 하면 변수들이 분리되어 나옵니다. 이렇게 변수 분리를 하다 보니까 보어모델에서 없던 전자의 공간적인 분포의 방향성을 결정하는 각운동량과 자기스핀량이 생기게 되었습니다.

각운동량에 관한 2계 미분방정식은 전통적인 수학에서 르장드르 다항식으로 풀이를 해야 하므로 상수값을 두 개 정수 곱으로 나타내면 르장드르 미분방정식을 르장드르 다항식으로 풀 수 있습니다. 따라서 l*(l+1)이라는 두 개의 정수곱으로 양수를 만들어야 방정식을 풀 수 있는데... 수학적인 의미뿐만 아니라 물리적으로도 각운동량이 음인 경우가 없으므로 l이 0부터 시작하게 됩니다. 1 부터 시작할 수도 있으나 각운동량의 크기가 1부터 시작하면 각운동량이 없는 (각운동량이 0일 때 공간적인 방향성이 없는) 전통적인 보어모델을 설명할 수 없으므로 부양자수가 0부터 시작되는 것이 물리적인 의미까지 가지게 되는 것입니다.

아무리 수학적인 해가 중요하다고 해도 물리적인 의미가 없으면 존재 의미가 없으므로 2계미분방정식이 양자역학의 등장으로 많은 변화를 겪게 되어 수학적인 사고방식을 수정하는 단계까지 이르렀습니다. 이것이 스텀-뉴빌 미분방정식으로 수학적으로 2계미분방정식에 대한 접근 방식을 바꾸는 기준으로 되었습니다. (자세한 내용은 수리물리학에 잘 나와있습니다) 양자역학을 배울 때 단순히 수학적인 기법에 의존하기 보다는 물리적인 의미가 왜 나왔는가를 보고 물리적인 현상을 해명하기 위한 수학적인 기법의 동원으로 봐야 더 정확한 이해가 가능합니다.

s, p, d, f는 전통적인 스펙트럼 분석 기법에서 나온 용어의 약어로 전이원소들 (주로 금속) 스펙트럼을 보면 미세한 선들이 분리되어 있는 선이 주양자수와 부양자수의 크기와 다르게 에너지 위치가 약간 다른 선들이 있는데 이것을 설명하려는 시도가 배타원리, Hund rule 등이 있고 에너지 준위에 따른  각운동량과 스핀자기수가 달라 스펙트럼상에서 에너지 역전 현상이 일어나는 것입니다.(에너지 크기에서도 역전이 일어납니다) 이런 현상이 일어나는 이유는 전자들끼리 상호작용을 해서 척력이나 인력 때문에 에너지 준위가 미세하게 바뀌는 것으로 해상도가 떨어지는 분광기에서는 볼 수 없습니다.