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드브로이의 물질파는 지금까지도 논란이 되는 주제입니다. 백년 가까이 지나 해결이 되었다고 볼 수도 있으나 반론도 만만치 않습니다. 바로 위상속도와 물질파 전파속도에 관한 내용입니다. 드브로이가 처음 박사학위 논문에서 제안한 물질파의 전파속도는 v_p = f*d입니다 (d는 파장을 나타내는 그리스문자의 람다)

드브로이의 제안에 따르면 물질이 움직일 때 입자의 속도를 v라고 하면 물질파의 파장은 d = h/mv^2. (원래는 h/(2*pi)가 되어야 하지만 간단하게 h로 나타냄) 입자의 에너지는 E = h*d가 되고 상대성원리에 의해 E = mc^2이 됩니다.

두 개를 조합하면  f = mc^2/h가 되고 물질파의 전파속도는

v_p = f*d = c^2/v

가 됩니다. 물질이 광자라고 하면 v = c가 되어 v_p = c로 아무런 문제가 없습니다. 그러나 소립자와 같은 일반 물질인 경우 v < c가 되기 때문에 물질파의 전파속도 v_p > c 가 되는 모순이 있습니다. 따라서 물질파의 전파속도와 물질의 이동속도를 구분해야 할 필요가 있는데 파속(wave packet)의 위상속도와 군속도로 해결을 한 것입니다. 양자역학에서는 처음 단원에서 물질파를 소개하면서 양자들의 공간 분포함수를 도입하여 전파속도와 혼동이 되도록 구성을 하는데 잘 구분해야겠지요.

파속(wave packet)에 대한 개념은 국소 퓨리에변환을 배우면 자연스럽게 이해가 되는 내용입니다. 파속을 나타내기 위해 가우스 분포를 이용하는데 수학적으로 깔끔하게 나오면서 어떤 국소 공간에 여러 파장의 파동이 집중되어 있을 때 적절한 표현 방식입니다. 질문을 퓨리에변환을 공부하지 않은 상태에서 이해하려면 변조(modulation)에 대한 내용부터 다루어야 합니다.

쉬운 내용을 다루는 양자역학교재에서 파속을 소개하기 위해 변조를 다루고 있기도 합니다. 물질이 전파되는 과정을 정보가 전달이 되는 과정과 배슷하다고 하면 파동을 이용해서 정보를 전달하기 위해 주파수를 바꾸거나 진폭을 바꾸는 방법이 있습니다. 진폭을 바꾸어 정보전달을 하는 방법을 진폭변조라고 하고 전자기학이나 광학에서 AM파를 예로들고 있습니다.

유사한 파수나 진동수를 가지 두 파동을 겹쳤을 때 맥놀이 현상과 일어나는 것을 진폭변조라고 합니다. 이때 위상속도는 두개의 파동을 겹쳤을 때 낱개의 파가 진행하는 속도를 말하고 군속도는 변조가 된 파의 모양이 전파되는 속도를 말합니다.  양자역학에서는 복소수를 이용하여 물질파의 전파를 나타내지만 광학이나 전자기학에서는 정현함수를 이용합니다. 원래의 파동의 진폭을 A = A0*cos(kx - wt) 라고 하면 (여기 게시판이 과학기술에 대한 내용을 다루면서 그리스나 특수문자가 입력이 안되는게 이상합니다. w는 각진동수를 나타내는 오메가)

파동의 일정부분이 시공간에서 시간이 지나도 일정한 위치를 유지하는 선을 위상이라고 하고 시간에 따른 위상의 변화가 없을 때를 위상속도라고 합니다. 위의 식에서 위상은 phi = kx - wt로 이것이 전파될 때 시공간에서 일정한 위치를 유지해야 하므로

d(phi)/dt = k*dx/dt - w = 0

이라고 합니다. 물론 물질안으로 들어가서 분산이나 굴절이 일어날 때는 w = w(k)라고 해야겠지요. 따라서 위상속도는 dx/dt = vp = w/k.  앞의 파동에서 약간의 미세한 변동을 주어 B = A₀*cos((k+dk)x-(w+dw)t)라는 동일한 진폭을 가지고 약간의 파수와 진동수를 변화를 준 두 파동을 겹친다면 결과는 C = C₀*cos(dk*x/2-dw*t/2)*cos(kx-wt)가 됩니다.

원래의 파동의 전파속도인 cos(kx-wt)로 이동을 하는데 이것이 위상속도를 의미합니다. 진폭변조에 해당하는 전파는 psi = dk*x/2 -dw*t/2에 해당합니다. (d는 미세한 벼화를 나타내는 delta)

d(phi)/dt = dk*dx/dt/2 - dw/2 = 0

으로 할 때 dx/dt = dw/dk가 되어 군속도라고 할 수 있습니다. (진폭변조가 되는 포락선의 한 점에서 이동속도) 실제로는 가우스분포함수를 국소 퓨리에 변환을 시키면서 어떤 기준 파수에 대하여 테일러전개를 해서 구하고 변환을 시켜야 하지만 약간 복잡합니다.

따라서 물질파와 수학적인 접근방식인 파속을 도입할 때 위상속도는 물질파의 전파속도이고 군속도는 공간상 입자의 이동속도라고 보면 됩니다. 이렇게 해도 물질파의 본질을 상상할 수 없는데 위상속도로 설명하는것이 불확실하기는 합니다. 또한 수학적으로 파속을 이용하여 접근할 때 고전적인 해석보다 위치와 운동량을 동시에 적용할 수 없는 불확정성 원리까지 고려하면 더 복잡해지겠지요.

빛의 속도보다 빠른 상황은 매질내에서 물질이 이동할 때 굴절률의 영향을 받는 빛보다 물질의 이동속도가 더 빠를 때 나타납니다. 대표적인 예가 원자로에서 볼 수 있는 체렌코프 효과입니다. 빛의 이동속도보다 입자의 이동속도가 더 빠를 때 나타나는 현상입니다. 물질파라는 물리적인 현상과 파동의 성질을 이용한 수학적인 해결방법의 차이에서 나타나는 미묘한 해석을 잘 구분하면 되겠지요.