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같은 wavefunction 이 다른 operator 에 대해서 풀면 다른 eigenfunction 의 급수로 이뤄지는데
푸리에 급수로 어떤 파수를 중심으로 파동묶음을 한 각각의 eigenfunction 들의 함이 맞나요?
그래서 파동함수하나가 있을떄 서로다른 연산자에 대해 각각 eigenfunction 의 급수로 표현 되는 거죠?
- 양자역학
- 파동함수
- 고유함수
각 분야 한인연구자와 현업 전문가분들의 답변을 기다립니다.
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답변
이응신님의 답변
2016-07-20- 3
아마 양자역학을 처음 접할 때 고유함수에 대한 이해 때문에 수학적인 측면이 더 어려워 양자역학 자체를 이해하기 힘든 측면이 있습니다. 양자역학을 수학적으로 기술하는 방법으로 하이젠베르크의 대수적인 접근방식, 슈뢰딩거의 미분방정식으로 접근하는 방식 등 두가지가 있습니다. 미분방정식은 2학년부터 다루었기 때문에 쉽게 느끼나 대수적으로 해결하는 방법은 어렵습니다.
고유함수는 선형대수학에서 나오므로 사전에 선형대수학을 공부하면 쉽습니다. 고유함수가 양자역학에 적용되는 부분은 오히려 탄성체역학을 참고하면 쉽게 풀립니다. 고유함수는 경계조건에 따라 결정이 됩니다만 어떤 의미냐는 고민을 많이 해야 하는 부분입니다.
예를 들어, 평평한 고무판에 작은 화살표를 각각의 방향으로 다양하게 그려넣었다고 합시다. 고무판의 가장자리를 잡고 변형을 시켰을 때 (예를 들어 늘이거나 비스듬히 잡아당기거나 안쪽으로 비스듬히 눌러 압축했을 때 등) 그려넣었던 화살표의 방향이 변하지 않는 것들이 생깁니다. 변형하는 방법에 따라 2차원일 때는 방향이 바뀌지 않는 화살표들이 2개가 생기고 (2개의 방향) 서로 직각이 되는 화살표들이 존재합니다. 이것이 고유함수라고 할 수 있습니다.
이런 화살표들을 조사해보며 변형을 주는 방법에 따라 길이가 늘어나거나 줄어드는데 원래 길이에 비해 줄어들거나 늘어나는 비율이 고유치에 해당합니다. 3차원이면 당연히 3가지가 방향이 바뀌지 않는 화살표들이 있습니다. 이런 것을 직교변환이라고 하는데 변형을 주는 방법에 의해 결정이 납니다. 변형을 주는 방법은 고유함수를 만들어내는 행렬의 형태라고 보면 됩니다.
양자역학에서는 너무 수학적인 선형대수학의 방식만 소개해서 고유함수의 원래 뜻을 알기 힘들게 되어 있습니다. 좀더 깊은 이해가 필요하는 dynamical system을 미분방정식으로 설명한 교재를 참고하면 됩니다.
퓨리에 급수는 고유함수를 구성하는 함수들의 집합입니다. 수리물리학을 보면 '완전함수'라는 말이 나오는데 퓨리에 급수를 구성하는 정현함수나 여현함수의 조합이 완전함수가 됩니다. 다른 완전함수의 예로 다항식이 있습니다. 그래서 특정지점을 중심으로 하는 함수의 미분전개(예를 들어, 테일러 급수나 로랑급수)를 다항식을 이용할 수 있습니다.
양자역학의 연산자는 하이젠베르크의 행렬이나 슈뢰딩거 방정식의 해밀턴 연산자가 있는데 이것이 관찰을 할 때 방법으로 작용하는 것들이고 바로 탄성막의 화살표들을 변형시키는 방법과 같습니다. 어떤 파동함수라도 연산자를 보고 완전함수로 전개를 할 수 있습니다. 이것이 완전함수의 강점으로 자세한 내용은 수리물리학의 완전함수를 참고하면 됩니다.
이응신(eisenbahn) 2016-07-27고유함수가 나온 배경을 이해하면 어렵지 않습니다. 고유함수는 어떤 (파동)함수를 기술하는데 필요한 기저함수에 해당합니다. 왜 고유함수를 이용하느냐고 묻는다면 당연히 관찰자에 독립해서 나타낼수가 있기 때문입니다. 예를 들어, 수소원자에 있는 전자의 에너지를 알고 싶다면 에너지를 알아내는 연산자를 사용해야 하고 이런 연산자를 사용했을 때 나오는 값이 고유치가 되는데 고유치는 관찰자에 관계없이 수소원자의 전자가 가지고 있는 에너지에 해당합니다. 고유함수는 연산자를 작용시켰을 때 수소원자 내부에 전자가 존재함을 표현하는 함수입니다. 이런 함수들은 연산자에 따라 달라지지만 특정 연산자에 대해서는 관찰자가 어떻게 되든 관계없이 수소원자 내부에 존재한다고 믿어지는 함수들입니다. 따라서 임의의 함수들이라도 고유함수를 조합해서 나타내면 관찰자에 독립해서 표현이 가능합니다. 정상파는 양단이 고정된 경계조건을 만족하는 파동이고 고무줄로 이루어졌다고 할 때 임의로 가진을 하면 독특한 모양의 파동이 만들어져서 양단을 왕복합니다. 이런 임의의 모양을 고유함수로 분해해서 나타낼 수 있습니다. 첫번째 고유함수는 양단이 고정된 마디고 가운데가 움직이는 배로 이루어진 함수, 그 다음의 고유함수는 양단과 가운데가 고정된 마디고 두 군데가 움직이는 배로 이루어진 파동(사인파의 한 주기)입니다. 이런 고유함수들을 조합해서 임의의 모양으로 움직이는 파동을 분해할 수 있습니다. 정상파와 모드분석이라는 단어로 검색을 해보면 임의의 함수가 어떻게 고유진동, 즉 고유함수로 분해가 되는가를 알 수 있을겁니다. 원자의 세계에서도 수학적인 기법은 동일합니다.
이응신(eisenbahn) 2016-07-27즉, 어떤 함수라도 완전함수를 조합해서 나타낼 수 있는데, 완전함수의 하나가 사인이나 코사인 함수입니다. 항상 쌍으로 작용해야 완전함수가 될 수 있습니다. 완전함수는 기저함수로 작용할 수 있고 기저함수에 계수를 곱하면 어느 함수라도 나타낼 수 있습니다. 고유함수는 완전함수가 될 수 있는데 고유함수는 연산자의 종류와 함수가 존재하는 경계조건에 의해 결정이 됩니다. 따라서 고유함수를 기저함수로 한다면 어떤 종류의 파동함수라도 고유함수의 조합으로 나타낼 수 있습니다. 고유함수는 연산자의 종류와 경계조건에 의해 결정이 되고 관찰자에 의존하지 않으므로 수소원자의 전자분포함수를 나타내는데 적합합니다. 포텐셜이 무한대인 사각형 우물안에 갖힌 입자의 파동함수가 고유함수의 조합으로 나타내는 문제가 시간에 무관한 슈뢰딩거방정식의 풀이예로 나오는데 파동함수의 정상파 해석과 수학적인 기법이 완전히 동일합니다.
이응신(eisenbahn) 2016-07-27고유함수에 대한 이해가 충분하지 않은 상태에서 갑자기 양자역학의 선형대수학의 내용이 나와서 혼동이 되기 때문입니다. 고유함수에 대하여 좀 더 깊게 이해하려면 "탄성체 역학"이나 "고체역학", "연속체 역학"등을 참조바랍니다. 특히 고체역학 (고체물리학이 아닙니다)에는 고유함수에 대한 이해가 확실히 될 겁니다. 고유함수의 조합에 대해서는 탄성체역학의 경계조건에 따른 탄성체의 고유함수나 진동역학의 모드분석(mode analysis)을 참조하시기 바랍니다. 또한 파동역학(wave mechanics)을 참조하시고, 조금 오래된 책으로 버클리시리즈의 파동역학을 보면 설명이 잘 나옵니다.
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답변
이응신님의 답변
2016-07-20- 3
질문 제목과 질문 내용이 조금 차이가 있어 다시 부연설명을 합니다. 양자역학의 관찰자(observable?; 관찰방법)는 무엇을 볼 것인가를 결정하는 측정방법에 해당합니다.
수소원자의 에너지를 보고 싶다면 해밀턴연산자를 작용시키고 연자자에 따른 원자 내부의 함수가 고유함수가 되고 고유치가 연산자에 따른 에너지가 됩니다. 연산자는 위에서 말한 고무판을 어떻게 변형을 시킬 것인가를 정하는 형태가 되고 양자역학에서는 하이젠베르크 방식에서는 행렬, 슈뢰딩거 방식에서는 미분연산자가 됩니다.
고유함수는 탄성막에서처럼 다양한 방법으로 그려넣은 화살표들 중에서 변형을 주었을 때 처음의 방향과 변형된 후 방향이 변하지 않는 화살표의 방향으로 2차원에서는 2개의 방향이 존재합니다. (이건 정상적으로 변형을 주었을 때고, 특별히 한 방향으로 늘이거나 줄이고, 회전을 할 때는 독특하게도 방향이 변하지 않는 화살표들이 존재함) 따라서 고유함수는 관찰자와 무관하게 내부상태를 기술하는 방법이 됩니다. 파동함수에서 임의의 파동을 정현이나 여현함수로 나타낼 수 있고 이것을 '모드(mode)'에 따른 기술이라고 합니다. 다만 고유함수의 특성은 내부상태를 정확하게 나타내야 하므로 완전함수 형태로만 존재합니다. 완전함수는 퓨리에 급수로 나타냈을때 기저에 해당하는 정현과 여현함수입니다. 또는 다항식도 완전함수가 될 수 있습니다.
양자역학에서는 관찰자가 관찰을 하려고 시도하는 방법이 연산자이고 여기에 해당하는 고유함수들이 수소원자 내부에 존재를 하고 이런 고유함수들은 연산자에 따라 변화가 없고 결과값만 나오는데 관찰결과 나오는 값들이 고유치에 해당합니다.
wavefunction 이 주어지면요 예를들어 A(1-x^2) 라고 할때 이 어떤 입자에 대한 파동함수가 어떤 operator에 따라서 linear combination 으로 쓸 수 있는 거죠? 그떄 주어진 파동함수가 각각의 eigenfunction 들의 파동묶음이 되는건가요?
그리고 eigenfunction 과 eigenstate 는 각각의 입자를 표현하는 notation 에 따라 다른거지 같은 것을 가리키는거죠???