2016-10-17
org.kosen.entty.User@3d8c290
임창현(12ckdgus)
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L=각운동량 , m=질량, g=중력가속도 상수, theta= 각도, *=곱하기 w= 각속도
토크가 mglsin(theta) = dL/dt 를 푸는데요
mglsin(theta) dt = dL
mglsin(theta)* dt/d(theta)* d(theta) = dL
인데 적분을 하려면 dt/d(각도) 값을 각도의 함수로 구하고싶은데 세타의 함수로 각속도를
어떻게 구할 수 있나요?
그러니까 가속도가 위치의 함수로 주어져 있는데 속도를 위치의 함수로 어떻게 구할 수 있나요?
a= f(x) =dv/dt
dv/dt = dv/dx*dx/dt
dv/dx =?
토크가 mglsin(theta) = dL/dt 를 푸는데요
mglsin(theta) dt = dL
mglsin(theta)* dt/d(theta)* d(theta) = dL
인데 적분을 하려면 dt/d(각도) 값을 각도의 함수로 구하고싶은데 세타의 함수로 각속도를
어떻게 구할 수 있나요?
그러니까 가속도가 위치의 함수로 주어져 있는데 속도를 위치의 함수로 어떻게 구할 수 있나요?
a= f(x) =dv/dt
dv/dt = dv/dx*dx/dt
dv/dx =?
- 단진자
- 미분
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각 분야 한인연구자와 현업 전문가분들의 답변을 기다립니다.
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답변 2
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답변
이응신님의 답변
2016-10-17- 1
각운동량의 보존법칙으로부터 미분방정식을 유도하여 2계 상미분방정식을 풀면 앞과 같이 나옵니다. 그러나 실제로 관측치로부터 나오는 결과는 각도변화가 더 필요한 경우가 있습니다(대표적인 예로, 천체의 운동). 단진자의 운동도 마찬가지입니다. 원하는 결과를 얻기 위해서 각운동량보존의 법칙으로부터는 시간에 따른 각도변화를 구할 수 있지만 각도변화에 따른 시간(예를 들어, 주기)을 구하려면 에너지보존법칙으로부터 방정식을 유도하여 1계 상미분방정식을 풀어야 합니다. 근사치로 하지 않고 완전한 해를 얻기위해서는 닫힌 해를 구할 수는 없고 타원적분을 해야 합니다.
일단 각운동량보존법칙이 아니라 에너지보존법칙을 적용한다면,
E = K + V = m/2*(l*d(theta)/dt)^2 + mgl(1-cos(theta)) = E = mgl(1-cos(theta0)),
d(theta)/dt = sqrt(2g/l)*sqrt(cos(theta)-cos(theta0)).
따라서
sqrt(2g/l)*T = integral(d(theta)/sqrt(cos(theta)-cost(theta0)), theta = theta0..theta)
이렇게 하면 됩니다. 속도와 위치 관계인 dv/dx도 운동량보존법칙으로부터 나오는 2계 미분방정식이 아니라 에너지보존법칙으로부터 나오는 1계 미분방정식으로 풀면 됩니다. 에너지를 사용하는 이유는 미분방정식을 하나 내려서 1계 미분방정식으로 변화를 줄 수 있기 때문입니다. 전제조건은 당연히 역학적에너지가 보존이 되어야 합니다. 위의 단진자운동의 방정식은 타원적분으로 풀면 됩니다. 참고 서적을 찾아보면 타원적분으로 바꾸는 방법이 있습니다. 다만 참고문헌에는 왜 각운동량으로 풀지 않고 에너지보존법칙으로 푸는가에 대한 설명은 거의 없을겁니다. -
답변
김채형님의 답변
2016-10-18- 1
원에서의 각운동이면 dx= r*d(theta)로 표현되지 dx를 안써요. 무한히 작은 값이니 곡면이 아니라 직선이라 보기 때문에...