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남을 가르친다는 것 자체가 아주 어려운 일입니다. 특히 수학과 같이 답이 이미 주어져있는데 과정을 찾도록 하는 과목들이 더 어렵습니다. 학생들을 가르치는데는 수학교육과정이라는 해설서가 도움이 됩니다. 교과부에 가서 중등학교 수학교육과정과 해설서를 찾아보세요. 무엇을 왜 가르치느냐에 대한 교과목의 목표와 방법이 자세히 나와있습니다. 더 도움을 받고 싶다면 수학교사모임이나 (아마 사단법인으로 등록이 되어 있는듯) 수학교육학과가 있는 대학의 홈페이지에서 여러 가지로 도움을 받을 수 있습니다. 1. 함수와 방정식, 부등식 함수는 수학에서 제일 중요한 개념과 방법입니다. 중1에서 방정식이 나오고 그 뒤에 1차 함수가 나오는데 조금 이상한 순서입니다. 중2에서 대수식이 나오는데 실제로 방정식의 풀이는 대수를 먼저하고 군론에 근거를 둔 풀이법을 도입해야 하는데 한국의 수학교육과정은 함수가 먼저 나오고 2학년에 일반적인 대수가 나오는 걸로 보아 어떤 순서 상의 의미가 있는 듯 한데 정확한 이유는 모르겠습니다. 수학교육과정 해설서를 참고하시면 답이 있을 듯 합니다. 함수는 두 수의 연관 관계를 다루는 것이고 알기 쉽게 가시화를 시키기 위해 그래프를 그립니다. 예를 들어 f(x) = y = 3.56*x 라고 할 때 x와 y의 두 변수 사이의 관계를 나타낸 것이 함수입니다. 중1 수학을 보면 함수를 시작할 때 x, y 사이의 정의구역과 치역 사이의 함수관계를 표를 이용해서 나열한 다음 일차함수를 그래프로 그리고 있습니다. 방정식은 함수관계에서 하나의 수를 고정시키고 그런 관계를 가져온 다른 수를 찾는 과정입니다. 이런 설명은 중1 수학과정에서 순서관계로 인해 설명이 자세히 나오지 않습니다. 즉, y = 3.56*x = 5.5 라고 함수에서 이미지값에 특정값을 넣고 미지의 변수를 정의역에서 찾는 과정입니다. 중1 교육과정을 보면 일차함수를 배우고 일차방정식을 세우는 방법이 나오고 있는데 이미 일차방정식은 앞에서 다 배우고 나서 함수관계로 일차방정식을 세우는 방법이 나옵니다. 풀이는 앞에서 다 배워서 생략한 듯 한데 이 부분을 잘 연관시키면 학생들에게 좋은 반응을 얻을 수 있을 것입니다. 일차방정식의 풀이는 과정을 보면 중2에 배우는 군론으로 풀고 있습니다.즉 등호를 중심으로 양변에 일정한 수를 더하거나 빼주고, 곱하거나 나누는 과정을 순차적으로 시행해서 방정식을 풉니다. 이것은 중2에 나오는 대수의 군론에서 따온 방법인데 순서가 이상하나 현재 교육과정에서 어쩔 수 없이 도입한 방법인 듯 합니다. 결론은 함수에 대하여 먼저 다룬 다음 일차방정식을 유도하는 순서 다음에 앞에서 한 풀이방법을 다시 반복하면 좋겠지요. 고등학교의 2차 방정식과 그래프에서 다루는 방법을 이미 가져와서 일차함수의 그래프에서 근을 구하는 방법이 방정식과 함수가 어떤 연관을 가지는가를 자세히 다루는 것도 생각해볼 수 있습니다. 2. 무리수의 유리화 여기에서 분수식을 다룰 때 왜 유리화를 시켜주는가에 대한 이유나 설명도 없이 방법만 배우고 있어서 나오는 질문인 듯 합니다. 고등학교에서 수학을 다 배워도 모르는 경우가 대부분입니다. 수학교육과정 해설서에 보면 잘 나와있습니다. 중학교에서 학생들에게 필요한 것은 수의 크기 비교입니다. 그래서 유리수도 중1에서 다루고 있는데 유리수가 수직선에서 즉, 정수 사이에서 어떤 크기를 가지고 어디에 위치해 있는가를 자세히 설명하고 있습니다. 무리수도 실수직선 위에 있는데 (유리수 사이에 있음) 도대체 어디에 위치해 있는지 분모가 무리수로 있다면 크기를 알 수 없습니다. 물론 계산기를 사용하면 이런 문제는 없습니다만 현재 한국의 중등과정에서는 암산이나 필기하는 방법으로 크기를 짐작해야 하므로 분모의 유리화는 필수로 해야 합니다. 예를 들어, 3/sqrt(2)의 크기가 수직선 어디에 있는가 알아본다고 가정해 보면 쉽게 답이 나옵니다. 3/2.14159... 로 나오면 분모가 무리수가 될 때 지극히 알아보기 힘듭니다. 그러나 유리화를 시켜 3*sqrt(2)/2 = 1.5*2.14159... 가 되기 때문에 그냥 손으로 계산해도 크기를 쉽게 알 수 있습니다. 분수식을 계산할 때 분모를 통분하는 방법은 조금만 생각해봐도 알 수 있습니다. 분모의 크기를 일치시키고 분자로만 크기를 비교하거나 연산을 하면 쉽게 계산이 진행됩니다. (계산기 없이) 대학교에서는 계산기를 사용하니까 분모를 통분하거나 무리수일 때 유리화를 시키지 않아도 문제가 없이 계산을 진행할 수 있습니다.

안녕 하세요. 지난 10년간 현지에서 부업으로 초중고학생들에게 북미 수학과 한국수학을 가르쳤습니다. 꼭 수학 전공자만 답변을 달라 하셔서 좀 망설였는데, 그래도 자신있게 말씀 드릴 수있기에 추가 답변 드립니다. 1. 방정식. 먼저 윗분이 말씀하신데로 저역시 함수가 먼저 나오고 대수학이 나와야 한다고 생각했으며며, 주로 그런 순서로 아이들을 가르쳤습니다. 왜냐면, 방정식과 부등식은 일종의 함수의 부수적인 관계라 여겨지기 때문이지요. 제가 아이들을 가르치는 방식으로 설명을 하면 좀 편할것 같아 그렇게 하겠습니다. 일단 함수란 무엇인가? 중학교 수준에서 얘기를 하면, '두 변수 즉 x와y의 관계식으로써 순서쌍으로 표현할 수 있는것'이라 정의를 할 수 있겟습니다. 그러면 모든 x의 정의역에 대응하는 y의 치역이 있겠지요. 이것을 xy 순서쌍을 이용하여 좌표에 옮기면(1차 함수에서), 직선이 나오겠지요. 그래서 오직 함수만이 도표에 직선(1차)또는 곡선(2차이상)의 그래프로 나타낼 수 있습니다. 그러면, 여기서 방정식이란것이 무엇이냐 하면, 예를 들어, y=2x+1이라는 1차 함수를 생각하면, x가 어떤 값을 갖더라도 항상 그에 대응하는 y값은 나오게 되어 있습니다. 그래서 그래프를 그리면, y가 0일때 (즉 그래프가 x축과 만나는점)x의 절편이 나오지요 이것을 그대로 위 1차 함수식에 대입을 하면, 0=2x+1이란 식이 나오고 그때 x값은 x=-1/2가 되지요. 즉 우리가 편하게 다시쓰면,2x+1=0이란 식이 나오고 이식을 우리는 방정식이라 하구요 이 방정식을 만족하는 x를 구하라 하는것이 대부분의 기초 문제지요. 그러면 여기서 이제 방정식과 함수의 차이는 오직 y가 있냐 없냐입니다. 즉, 모든 x에 대응하는 y값이 항상 있으면,함수 더 쉬운말로 이것을 순서쌍으로 나타낼수 있으면, 함수가 되고 y가 없이 늘 식=0이란 식이 나오면 이식을 만족하는 x값(1차 방정식)은 오직 1개만 존재하는것이지요. 2. 부등식. 부등식 역시 위 예의 1차 함수식을 그래프로 그렸을때 y>2x+1이라 하면,어떤 x값을 대응하더라도 항상 y값은 커야 합니다. 그러려면, 늘 그래프의 모든 상위 부분이 해당하고 반대로 y<2x+1이라 하면, 그래프의 밑에 모든 부분이 해당 되겠죠. 위 두개의 방정식과 부등식에서 보듯이 함수라는것에 대한 정확한 개념을 지니게 해주면 방정식과 부등식 모두 문제 없이 해결 할 수 있을 것입니다. 3. 분모의 유리화 수학은 모든지 간편화 하려는 경향이 있습니다. 복잡하다는것이 틀린것은 아닙니다. 하지만, 늘 간편화 하기를 원하지요. 그중 하나가 무리수 분모의 유리화 입니다. 물론 무리수 분모를 그대로 둬도 틀린 숫자는 아니지만, 수학이라는 학문에서 서로 약속을 한것이지요. 간편화 하자 어떻게? 음...분모를 정수로 만들자. 어떻게? 분모의 무리수와 똑같은 숫자를 분모와 분자에 곱해 주면 되지요. 그럼 질문하신것에 대한 답으로 분자에도 분모와 똑같은 무리수를 곱해주는 이유는 원래 숫자의 크기를 그대로 유지하기 위해서입니다. 당연히 분모와 분자에 똑같은 숫자를 곱해주면, 결국은 원래 숫자에 1을 곱해주는것과 마찬가지이지요. 그럼 원래 숫자의 크기를 변형시키지 않으면서 숫자를 한결 간결하게 보이게 하는것이 바로 무리수 분모의 유리화 입니다. 도움이 되셨길 바랍니다.